핵심 용어
- 차수: 한 노드가 가질 수 있는 최대 자식 수
- 서브트리: 특정 노드와 그 자손들로 이루어진 하위 트리
- 리프 노드: 자식이 없는 말단 노드
BST(Binary Search Tree)의 성질
- 왼쪽 서브트리의 모든 값은 부모보다 작다.
- 오른쪽 서브트리의 모든 값은 부모보다 크다.
- 각 노드는 자식을 최대 2개까지 가진다.
BST는 탐색이 빠르지만, 한 노드가 자식을 2개까지만 가질 수 있다는 한계가 있다. 데이터가 많아지면 높이가 커지고, 디스크/페이지 단위 저장에서는 비효율적일 수 있다.
2. 그래서 B-Tree를 쓴다
BST의 한계를 줄이기 위해, 한 노드 안에 여러 개의 key를 저장하고 자식 수도 늘린 구조가 B-Tree다.
한 노드에 key가 2개 있으면 자식은 3개가 된다.
즉, key 수 + 1 = 자식 수가 항상 성립한다.
3. 3차 B-Tree의 규칙
여기서는 M = 3인 B-Tree를 기준으로 정리한다.
기본 규칙
- 최대 자식 수:
M = 3 - 최대 key 수:
M - 1 = 2 - 최소 자식 수:
ceil(M / 2) = 2 - 최소 key 수:
ceil(M / 2) - 1 = 1
예외
- root는 예외적으로 더 적은 key/child를 가질 수 있다.
- 모든 리프 노드는 같은 높이에 있어야 한다.
꼭 기억할 성질
- 인터널 노드에 key가
x개 있으면 자식은 반드시x + 1개다. - 리프가 아닌 노드는 최소 2개의 자식을 가져야 한다.
- key는 항상 오름차순으로 정렬되어 있어야 한다.
4. B-Tree에서 가질 수 없는 구조
1) key 수와 자식 수가 맞지 않는 경우
- key가 1개인데 자식이 3개인 구조는 불가능하다.
- key가 2개인데 자식이 2개뿐인 구조도 불가능하다.
위 구조는 부모 key가 1개인데 자식이 3개라서 규칙 위반이다.
2) 자식 구간이 잘못된 경우
부모가 20 | 40이면:
- 왼쪽 자식:
20보다 작은 값 - 가운데 자식:
20과40사이 값 - 오른쪽 자식:
40보다 큰 값
이 구간을 어기면 B-Tree가 아니다.
5. 삽입 규칙
- 삽입은 항상 리프 노드에서 시작한다.
- 삽입 후 key 수가 초과되면 노드를 분할한다.
- 가운데 key를 부모로 승진시킨다.
- 부모도 넘치면 같은 과정을 위로 반복한다.
3차 B-Tree에서는 한 노드에 key가 최대 2개까지 들어갈 수 있으므로, 임시로 3개가 되는 순간 분할이 일어난다.
6. 3차 B-Tree 삽입 예시
삽입 순서:
1, 15, 2, 5, 30, 90, 20, 7, 9, 8, 10, 50, 70, 60, 40
Step 1. 1, 15 삽입
루트가 리프이므로 그냥 들어간다.
Step 2. 2 삽입, 첫 분할
[1 | 15]에 2를 넣으면 [1 | 2 | 15]가 되어 overflow가 발생한다.
가운데 key 2를 승진시키면:
Step 3. 5, 30 삽입
5는 오른쪽 리프[15]에 들어가[5 | 15]30을 넣으면[5 | 15 | 30]이 되어15가 부모로 승진
Step 4. 90, 20 삽입 후 루트 분할
90은[30]에 들어가[30 | 90]20을 넣으면[20 | 30 | 90]overflow30이 부모로 승진하려는데, 부모[2 | 15]도 overflow- 다시 루트 분할이 일어나
15가 새 루트가 된다
Step 5. 7, 9 삽입
7은[5]에 들어가[5 | 7]9를 넣으면[5 | 7 | 9]overflow- 가운데
7이 승진해서 왼쪽 인터널 노드가[2 | 7]이 된다
Step 6. 8, 10 삽입 후 왼쪽 서브트리 재분할
8은[9]에 들어가[8 | 9]10을 넣으면[8 | 9 | 10]overflow9가 부모[2 | 7]로 올라가면서 부모도 overflow- 부모를 다시 분할하고
7이 루트로 승진
Step 7. 50, 70, 60, 40 삽입 후 최종 트리
50은[90]에 들어가[50 | 90]70을 넣으면[50 | 70 | 90]overflow,70승진- 오른쪽 인터널 노드가
[30 | 70]이 된다 60은 가운데 리프에 들어가[50 | 60]40을 넣으면[40 | 50 | 60]overflow,50승진- 오른쪽 인터널이 overflow되고, 마지막으로 루트도 분할된다
최종 결과:
7. 삽입 변화 한눈에 보기
| 삽입 값 | 결과 요약 |
|---|---|
| 1 | 루트 [1] |
| 15 | 루트 [1 | 15] |
| 2 | overflow, 2 승진 -> 루트 [2] |
| 5 | 오른쪽 리프 [5 | 15] |
| 30 | overflow, 15 승진 -> 루트 [2 | 15] |
| 90 | 오른쪽 리프 [30 | 90] |
| 20 | overflow, 30 승진 -> 루트까지 overflow -> 새 루트 [15] |
| 7 | 리프 [5 | 7] |
| 9 | overflow, 7 승진 -> 왼쪽 인터널 [2 | 7] |
| 8 | 리프 [8 | 9] |
| 10 | overflow, 9 승진 -> 인터널 overflow -> 7이 루트로 승진 |
| 50 | 리프 [50 | 90] |
| 70 | overflow, 70 승진 -> 오른쪽 인터널 [30 | 70] |
| 60 | 리프 [50 | 60] |
| 40 | overflow, 50 승진 -> 인터널 overflow -> 루트 분할 -> 최종 루트 [15] |
8. B+Tree 기본 구조
B+Tree는 B-Tree와 비슷하지만, 실제 데이터는 leaf node에만 저장하고 internal node는 탐색용 key만 둔다.
- internal node: 어느 방향으로 내려갈지 결정하는 안내판 역할
- leaf node: 실제 key 또는 레코드 위치를 저장
- 모든 leaf는 같은 높이에 있고, 보통 서로 연결된다
예시:
위 그림에서는:
- 루트와 internal node는 탐색 경로를 나누는 key만 가진다
- 실제 값은 맨 아래 leaf에만 있다
- leaf들은 오른쪽으로 연결되어 있어서 순차 탐색이 쉽다
9. B+Tree에서 leaf 연결이 중요한 이유
B+Tree는 값을 찾은 뒤 같은 구간의 다음 값들을 읽을 때 다시 루트로 올라갈 필요가 없다.
처음 leaf만 찾으면, 이후에는 연결된 leaf를 따라 오른쪽으로 이동하면 된다.
이 구조 덕분에 B+Tree는 다음 작업에 특히 유리하다.
- 범위 검색:
20 이상 70 이하 - 정렬 순회: 작은 값부터 큰 값까지 출력
- 데이터베이스 인덱스 스캔
10. B-Tree와 B+Tree 차이
B-Tree
- internal node와 leaf node 모두 key를 가질 수 있다
- 검색 도중 internal node에서 바로 값을 찾을 수도 있다
- 범위 검색은 가능하지만 leaf 연속 순회 구조는 B+Tree보다 덜 직접적이다
B+Tree
- 실제 데이터는 leaf에만 저장한다
- internal node는 탐색 전용 key만 가진다
- leaf node들이 연결되어 있어 범위 검색과 순차 접근에 강하다
한 줄 비교:
- B-Tree: “중간 노드에도 값이 들어갈 수 있는 트리”
- B+Tree: “중간 노드는 길 안내, 실제 데이터는 leaf에 모아둔 트리”
11. B+Tree 삽입 과정
여기서는 3차 B+Tree 느낌으로 간단한 삽입 흐름만 본다.
- internal node의 역할: 경로 안내
- 실제 key는 leaf에 저장
- leaf가 overflow되면 분할한 뒤, 오른쪽 leaf의 첫 key를 부모에 복사해서 올린다
이 지점이 B-Tree와 다르다.
B-Tree는 가운데 key가 위로 승진하면서 원래 자리에서 빠질 수 있지만,
B+Tree는 leaf에 실제 데이터가 남아 있어야 하므로 separator key를 부모에 복사한다.
Step 1. 시작 상태
루트가 leaf인 상태에서 시작한다.
Step 2. 30 삽입 -> 루트 leaf 분할
[10 | 20]에 30을 넣으면 leaf overflow가 발생한다.
- leaf를 둘로 나눈다
- 오른쪽 leaf의 첫 key
20을 부모에 복사한다 - 루트가 분할되었으므로 새 루트가 생긴다
중요한 점:
- 부모에는
20이 들어가지만 - leaf에도
20이 그대로 남아 있다
Step 3. 25 삽입 -> leaf split + 부모 key 추가
25는 오른쪽 leaf [20 | 30]에 들어가서 overflow를 만든다.
[20 | 25 | 30]을[20],[25 | 30]으로 분할- 새 오른쪽 leaf의 첫 key
25를 부모에 복사
이후에도 삽입 규칙은 같다.
- leaf에 삽입
- overflow면 leaf split
- 오른쪽 leaf의 첫 key를 부모에 복사
- 부모도 overflow면 internal node split
- 루트가 overflow면 새 루트 생성
12. B-Tree 삭제 기본
B-Tree 삭제는 삽입보다 조금 더 복잡하다.
삭제 후 어떤 노드의 key 수가 최소 개수보다 작아지면 underflow가 발생하고, 이때:
- 형제에게서 하나 빌릴 수 있으면 재분배
- 못 빌리면 부모 key와 함께 병합
참고로 internal node에서 key를 삭제할 때는 보통:
- 왼쪽 서브트리의 최대값(전임자, predecessor)
- 또는 오른쪽 서브트리의 최소값(후임자, successor)
로 대체한 뒤, 실제 삭제는 leaf에서 처리한다.
Case 1. 단순 삭제
삭제 전:
여기서 10을 삭제하면 왼쪽 leaf는 [5]가 된다.
3차 B-Tree에서 leaf의 최소 key 수는 1이므로 underflow가 아니다.
삭제 후:
즉, 삭제 후에도 최소 조건을 만족하면 아무 재조정도 하지 않는다.
13. B-Tree 재분배(빌려오기)
이번에는 삭제 때문에 어떤 leaf가 최소 조건을 깨는 경우다.
삭제 직전 상태:
여기서 왼쪽 leaf의 5를 삭제하면 왼쪽 노드는 비게 된다.
하지만 오른쪽 형제 [20 | 30]은 key가 2개라서 하나를 빌려줄 수 있다.
재분배 후:
흐름은 다음과 같다.
- 부모 key
15를 왼쪽 자식으로 내려 보낸다 - 오른쪽 형제의 가장 작은 key
20이 부모로 올라온다
결과적으로:
- 부모:
[20] - 왼쪽 자식:
[15] - 오른쪽 자식:
[30]
이렇게 형제에게서 하나 빌려오는 과정을 재분배(redistribution) 또는 borrow라고 한다.
14. B-Tree 병합(merge)
형제가 최소 key만 가지고 있다면, 더 이상 빌릴 수 없다.
이때는 부모의 separator key를 내려 보내고 형제와 합쳐서 하나의 노드로 만든다.
삭제 직전 상태:
여기서 왼쪽 leaf의 10을 삭제하면 왼쪽 leaf가 비게 된다.
오른쪽 형제 [30]도 최소 key 수만 가지고 있으므로 빌려줄 수 없다.
그래서:
- 부모 key
20을 아래로 내리고 - 오른쪽 형제
[30]과 합쳐서 - 하나의 노드
[20 | 30]으로 만든다
병합 후:
이 예시에서는 루트가 비게 되어 트리 높이가 1 줄어든다.
즉, 병합은 트리 높이를 감소시킬 수도 있다.
16. 한 줄로 정리
BST는 자식이 최대 2개인 기본 탐색 트리이고, B-Tree는 한 노드에 여러 key를 넣어 높이를 줄인 균형 트리이며, B+Tree는 실제 데이터를 leaf에만 모아 범위 검색까지 빠르게 만든 구조다.
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